Задание №9 · Степени и корни
Свойства степеней
При умножении — складывай показатели, при делении — вычитай, при возведении в степень — перемножай. Отрицательная степень = единица / положительная степень.
aᵐ·aⁿ=aᵐ⁺ⁿ, (aᵐ)ⁿ=aᵐⁿ, a⁻ⁿ=1/aⁿ
Задание №9 · Вычисления
Формулы сокращённого умножения
Запомни все семь формул — они мгновенно упрощают выражения на экзамене. Особенно часто встречаются квадрат суммы и разность квадратов.
(a+b)²=a²+2ab+b²
(a−b)²=a²−2ab+b²
(a+b)(a−b)=a²−b²
(a+b)³=a³+3a²b+3ab²+b³
(a−b)³=a³−3a²b+3ab²−b³
Задание №6 · Уравнения
Квадратное уравнение и теорема Виета
D=b²−4ac. При D>0: два корня, D=0: один, D<0: нет. Теорема Виета для x²+px+q=0: сумма корней = −p, произведение = q.
x = (−b±√D)/2a, x₁+x₂=−p, x₁·x₂=q
Задание №6 · Уравнения
Показательные уравнения
Приводи к одному основанию и приравнивай показатели. Если не получается — введи замену t=aˣ (tgt;0) и решай как квадратное.
aˣ = aⁿ ⟹ x = n
Задание №6 · Уравнения
Логарифмические уравнения
Переходи от log к степени. Обязательно проверяй ОДЗ: аргумент > 0. При log_a(f)=log_a(g) просто приравнивай аргументы.
log_a(x)=b ⟹ x=aᵇ
log(ab)=log a+log b
log(a/b)=log a−log b
Задание №7 · Прогрессии
Арифметическая прогрессия
Каждый следующий член отличается на постоянную разность d. n-й член и сумма первых n членов вычисляются по формулам.
aₙ = a₁ + (n−1)d
Sₙ = n(a₁+aₙ)/2
Задание №7 · Прогрессии
Геометрическая прогрессия
Каждый следующий член умножается на постоянное знаменатель q ≠ 0. Сумма конечной и бесконечной убывающей геометрических прогрессий.
bₙ = b₁·qⁿ⁻¹
Sₙ = b₁(qⁿ−1)/(q−1)
Задание №8 · Тригонометрия
Определения и основное тождество
В прямоугольном треугольнике: sin=катет/гипотенуза, cos=катет/гипотенуза, tg=sin/cos. Единичная окружность: точка (cos α; sin α).
sin²α + cos²α = 1
tg α = sin α / cos α
Задание №8 · Тригонометрия
Табличные значения
Запомни пять углов. Синус: 0, ½, √2/2, √3/2, 1. Косинус — в обратном порядке тех же значений. tg 45°=1, tg 60°=√3.
| α | 0° | 30° | 45° | 60° | 90° |
|---|
| sin | 0 | ½ | √2/2 | √3/2 | 1 |
| cos | 1 | √3/2 | √2/2 | ½ | 0 |
| tg | 0 | √3/3 | 1 | √3 | — |
Задание №8 · Тригонометрия
Формулы двойного угла
Синус двойного угла = 2sinα·cosα. Косинус двойного угла имеет три формы — используй ту, которая удобна по контексту задачи.
sin 2α = 2 sin α cos α
cos 2α = cos²α−sin²α = 1−2sin²α
Задание №11 · Графики
Преобразования графиков
y=f(x)+k — сдвиг вверх/вниз на k. y=f(x+k) — сдвиг влево/вправо. y=−f(x) — отражение от оси X. y=f(−x) — отражение от оси Y.
f(x)+k: сдвиг ↑↓
f(x+k): сдвиг ←→
−f(x): отражение ↕
Задание №11 · Графики
Парабола и линейная функция
Линейная y=kx+b: k — наклон, b — точка на оси Y. Парабола y=ax²+bx+c: вершина x₀=−b/2a. При a>0 ветви вверх, при a<0 вниз.
y=kx+b, y=ax²+bx+c
Вершина: x₀ = −b/(2a)
Задание №11–12 · Производная
Производная: правила и смысл
f′>0 — возрастает, f′<0 убывает, f′=0 — возможный экстремум. Таблица: (xⁿ)′=nxⁿ⁻¹, (sin x)′=cos x, (cos x)′=−sin x, (eˣ)′=eˣ, (ln x)′=1/x.
(xⁿ)′ = nxⁿ⁻¹
(sin x)′ = cos x
(ln x)′ = 1/x